@@user-vb9lp5xg5f The basic idea is that any point on the Bézier curve can be seen as a "weighted average of points", which can be formalized using the C sets I've written several times.

But if I'm talking about weighted averages, the following question is, "what are the weights?" 🏋🏻‍♂.

In fact, there are many ways to choose the weights to get a nice curve, but there's only one way to get the famous Bézier curve from a given set of points.

And to get these weights, instead of introducing Bernstein polynomials out of nowhere, I point out that it's a recursive process involving (t,1-t) at each step - that's the key moment at 3:55 🌳.

Don't hesitate to ask for clarifications if needed. Usually, I see all the comments 😁.

@surtvalheim

@@oljenmaths D’après mes recherches actuelles le double polynôme du 3ème degrés pour la distance suivant

t^0(a + e)(1-t)^3
+ 3t^1(b + f)(1-t)^2
+ 3t^2(c + g)(1-t)^1
+ t^3(d + h)(1-t)^0
- x - y = 0

aurait pour racine première de la dérivée ceci :

(a + e)(sqrt3((-((2(3t(b + f))^3 - 9(a + e)(3t(b + f))(3t^2(c + g)) + 27(a + e)²(t^3(d + h)- x - y))/27(a + e)^3) - sqrt(((2(3t(b + f))^3 - 9(a + e)(3t(b + f))(3t^2(c + g)) + 27(a + e)²(t^3(d + h)- x - y))/27(a + e)^3)² + 4((3t^2(c + g)(a + e) - t(b + f)²)/(a + e)²)^3/27))/2) + sqrt3((-((2(3t(b + f))^3 - 9(a + e)(3t(b + f))(3t^2(c + g)) + 27(a + e)²(t^3(d + h)- x - y))/27(a + e)^3) + sqrt(((2(3t(b + f))^3 - 9(a + e)(3t(b + f))(3t^2(c + g)) + 27(a + e)²(t^3(d + h)- x - y))/27(a + e)^3)² + 4((3t^2(c + g)(a + e) - t(b + f)²)/(a + e)²)^3/27))/2) - (3t^1(b + f))/3((a + e)))^3 + 3t(b + f)(sqrt3((-((2(3t(b + f))^3 - 9(a + e)(3t(b + f))(3t^2(c + g)) + 27(a + e)²(t^3(d + h)- x - y))/27(a + e)^3) - sqrt(((2(3t(b + f))^3 - 9(a + e)(3t(b + f))(3t^2(c + g)) + 27(a + e)²(t^3(d + h)- x - y))/27(a + e)^3)² + 4((3t^2(c + g)(a + e) - t(b + f)²)/(a + e)²)^3/27))/2) + sqrt3((-((2(3t(b + f))^3 - 9(a + e)(3t(b + f))(3t^2(c + g)) + 27(a + e)²(t^3(d + h)- x - y))/27(a + e)^3) + sqrt(((2(3t(b + f))^3 - 9(a + e)(3t(b + f))(3t^2(c + g)) + 27(a + e)²(t^3(d + h)- x - y))/27(a + e)^3)² + 4((3t^2(c + g)(a + e) - t(b + f)²)/(a + e)²)^3/27))/2) - (3t^1(b + f))/3((a + e)))^2 + 3t^2(c + g)(sqrt3((-((2(3t(b + f))^3 - 9(a + e)(3t(b + f))(3t^2(c + g)) + 27(a + e)²(t^3(d + h)- x - y))/27(a + e)^3) - sqrt(((2(3t(b + f))^3 - 9(a + e)(3t(b + f))(3t^2(c + g)) + 27(a + e)²(t^3(d + h)- x - y))/27(a + e)^3)² + 4((3t^2(c + g)(a + e) - t(b + f)²)/(a + e)²)^3/27))/2) + sqrt3((-((2(3t(b + f))^3 - 9(a + e)(3t(b + f))(3t^2(c + g)) + 27(a + e)²(t^3(d + h)- x - y))/27(a + e)^3) + sqrt(((2(3t(b + f))^3 - 9(a + e)(3t(b + f))(3t^2(c + g)) + 27(a + e)²(t^3(d + h)- x - y))/27(a + e)^3)² + 4((3t^2(c + g)(a + e) - t(b + f)²)/(a + e)²)^3/27))/2) - (3t^1(b + f))/3((a + e)))^1 + t^3(d + h) - x - y = 0

pour a b c d les x des points de la courbe et e f g h les y.

Faut être taré pour essayer de résoudre ce genre de truc.

All comments from YouTube:

@oljenmaths

1y↑2

🗞 Ressources sur les courbes de Bézier:
📰 Concours CAPES 2019 - http://bit.ly/3jdhbjL
📰 Concours général des lycées de 2018 - http://bit.ly/3W8N7o4
📰 Concours Maths B PT 2017 - http://bit.ly/3WdjSk4
📰 Épreuve de TIPE de 2010 sur les courbes de Bézier - http://bit.ly/3W6qbG8
📰 Concours Centrale PC 1999 - http://bit.ly/3WlevPm
📰 Référence vers l'article original - http://bit.ly/3uWU7se

@invitationvoyage

1y↑3

c'est le plus beau voyage mathématique que l'on puisse faire , votre manière d'exprimer les choses , est basé sur des principes mathématiques simples que l'on peut comprendre , alors que vous expliquez des mathématiques complexes ,
Lors de votre démonstrastion vous développez des mécanismes physiques en faisant référence à des poids donc à l'attraction gravitationnelle des choses dans le détaille et en générale , dans le temps , à des instants et à des positions différentes , multiples , variables ,
votre manière de penser peut être généralisée , pour résoudre d'autres idées et formes de problèmes , votre méthode est de pondérer le raisonnement pour une résolution pratique et rationnelle , et concrète des choses ,

@oljenmaths

Merci pour ce commentaire chaleureux 🙏🏻😇!

@DamassiTV

1y↑5

La meilleure chaîne des Maths Sup sur youtube, j'adore vos vidéos. Merci pour les explications du Maroc ❤️🇲🇦

@oljenmaths

1y↑2

Merci beaucoup 🙏🏻!!

@girianshiido

1y↑7

Voilà de nouveau une très belle vidéo ! Bravo.

@oljenmaths

Merci beaucoup 🥳!!

@nsy4652

N'étant qu'en première je ne comprend pas tout, mais c'est si bien expliqué que j'en comprends une bonne moitié, merci beaucoup pour ces explications !

@MonsieurChoukette

1y↑3

Superbe vidéo. Merci.

@smartcircles1988

1y↑1

Que des MASTERCLASS

@lazm6047

1y↑1

Génial merci beaucoup 👍😊

@nicopb4240

30w

Merci, c’est super intéressant et très bien réalisé 👍🏼👍🏼

@yanisk900

1y↑1

Super intéressant merci !

@markphi8365

1y↑1

Trop bien comme d'habitude !!

@QIQIQXFRHXRTHHH

47w

Merci ultra clair !

@oz_975

1y↑2

Un futur hit à n'en point douter.

@oljenmaths

Je l'espérais aussi mais je dois bien avouer que c'est fort mal parti 😅. Tant pis, il n'y a plus qu'à espérer que la vidéo soit bien indexée par YouTube et qu'on puisse tomber dessus en tapant « courbes de Bézier » à l'avenir 🤞🏻.

@Thealnv

1y↑2

Cours très intéressant que j’ai pu avoir l’occasion de découvrir en 1ere année aux Arts et Métiers

@oljenmaths

1y↑1

Pierre Bézier lui-même est passé aux Arts et Métiers 🥳! Il explique que c'est grâce à cela, et à plein de métiers relatifs à la construction automobile qu'il a exercés qu'il a pu avoir l'idée de ces courbes (cf. [CM#7], à venir en fin de semaine) 🤖.

@louisdufour2844

36w

Phy’ssss (j’ai mieux compris le cours ici que dans une salle de birse d’ailleurs 😅😅)

@dduarmand6972

1y↑2

Et tout paraît simple et limpide! N'importe quelle courbe peut donc être décrite par une succession de courbes de Bézier mises bout à bout si j'ai bien compris. Si l'on a une courbe donnée, pour pouvoir la décrire on choisit des points bien comme il faut afin de créer des courbes de Bézier pouvant décrire mathématiquement la courbe de départ. En plus, ces courbes ont l'air d'être facilement manipulables. Ce doit certainement être un outil puissant dans l'industrie ou quelqu'autre domaine. Merci pour cette video.

@ara9653

1y↑1

Non, toute courbe ne peut pas être exprimée comme succession de courbes de bézier.
Par contre on peut construire une grande variété de courbes de Bézier utiles et modelables (et calculables facilement par ordinateur, elles sont d'ailleurs très utilisées dans le jeu vidéo)

C'est comme les polynômes : on peut en faire de plein de formes différentes, satisfaisant énormément de propriétés, mais il existe (et beaucoup !) des fonctions non-polynomiales.

@oljenmaths

1y↑1

Je complète la réponse très juste de @ara9653 🥳:
🔸N'importe quelle courbe peut être « approchée » par une succession de courbes de Bézier, ce qui suffit allègrement pour la plupart des situations.
🔸Par contre, un arc de cercle, par exemple, ne pourra jamais être décrit par une courbe de Bézier.

@dduarmand6972

@@oljenmaths oui c'est ce que je voulais dire en fait. Je me suis mal exprimé. Merci.

@hugaar2352

47w

incroyable la video

@bushtactics4936

belle explication ! merci !

@someoneelse8263

superbement expliquer !

@ahoj7720

Très joli, merci. Le gros avantage des courbes de Bézier est qu’un arc est entièrement déterminé par les 4 points de contrôle, donc très peu de données. La détermination des points de la courbe est laissée au logiciel de sortie. On peut aussi remarquer le côté fractal de ces courbes puisque une partie d’un arc de Bézier est aussi un arc de Bézier. De plus si le quadrilatère formé des points de contrôle est convexe, l’arc est situé à l’intérieur de ce quadrilatère, ce qui permet de calculer l’intersection de deux arcs.

@oljenmaths

Merci pour ce commentaire qui complète agréablement la vidéo🙏🏻! Lors de l'élaboration des vidéos, je dois toujours laisser plein de choses de côté pour établir un fil narratif apparent, et c'est toujours un petit déchirement 😅.

@lexponentielexp6844

BRAVO !!

@riadboudalia2458

1y↑1

Une tres belle ellustration

@user-vb9lp5xg5f

29w

Thank you for this wonderful explanation!

@oljenmaths

29w

I'm glad you enjoyed it 🥳! Do you understand French, or did the subtitles help you follow 🕵🏻‍♂️?

@user-vb9lp5xg5f

29w

@@oljenmaths Hello, thank you for the reply! 🙂 I took French in middle school, but even this was enough to understand with your nice graphics! i am doing Bézier Curves as a high school project, so I thank you for this video 🙂! However, may I ask if you could explain to me the tree diagram in your own words again? I think this was lost in translation to me, and I thought it was a very interesting approach! I haven’t seen it in other explanations before 🙃! Math is wonderful!

@oljenmaths

29w

@user-vb9lp5xg5f

29w

⁠⁠@@oljenmathsThank you! It is a creative explanation! I had been reading other sources on Bézier curves the days before and was thinking that “poids” and “pondérés” had to do with points or co-ordinates, I should have translated before assuming haha. This is much clearer. The co-efficients in front of the control points are imagined as weights in your video then, very smart 😊! I appreciate the time you took to reply, perhaps I have another question soon. Thank you very much!

@oljenmaths

28w

@@user-vb9lp5xg5f By the way, I just realized that YouTube allows translating the subtitles I made in French into English, and it actually does a pretty good job 🫡! Good luck with your project 🥳!

3 More Replies...

@bertrand3055

Excellent ❗

@mrjamesngandutshinyongolo5239

Bonjour Olivier !
Merci de votre contenu... j'aimerais bien que vous fassiez certaines vidéos sur l'algèbre et ses quelques exercices ou exemples !
Car vraiment j'ai soif des mathématiques 🥀🥀🥂
Merci beaucoup Olivier

@oljenmaths

1y↑1

Salutations ! J'avais pour projet initial de faire de l'algèbre sur le premier semestre de 2023 mais les choses ne se sont pas forcément passées comme prévu. Ce dont je suis sûr, c'est qu'il y aura davantage d'algèbre lorsque je reviendrai, ayant fait de l'analyse quasi intégralement en 2022 🔬😄!

@vincepasc6865

Merci !

@aramiu_549

45w

Vous venez de sauver mon grand oral de terminale ! Ayant choisi les mathématiques au lycée bien que je n'aime pas trop ça j'ai eu du mal à trouver un sujet mélangeant ma passion : l'art et les maths pour mon oral et les courbes de Béziers semblaient être la seule option. Si vous n'aviez pas été là j'aurais mal compris leur fonctionnement pourtant pas si compliqué.

@oljenmaths

44w

Au plaisir 😇!

@Naval_R

Je viens de découvrir cette chaîne aujourd'hui grâce à cette superbe vidéo, et franchement un Grand Merci pour le travail, et vous êtes très pédagogue 🙏👍
L'outil utilisé pour présenter les équations, les figures, etc.. est vraiment adapté pour les mathématiques je trouve. C'est accessible à tout le monde (via un site par exemple) ou c'est comme certains trucs spécifiques aux enseignants ?

@oljenmaths

1y↑1

Merci beaucoup 🙏🏻! Il y a plusieurs outils utilisés successivement pour produire ces vidéos. La grande majorité du contenu est écrit sur mon iPad avec l'application GoodNotes, et puis il s'agit ensuite d'un montage vidéo fastidieux avec les outils usuels pour faire cela. Rien de spécifique aux enseignants, pas une goutte 😇.

@kanomaths7796

Afin de montrer l’intérêt des maths dans l’industrie, je me suis servi de geogebra et des courbes de Béziers avec trois points seulement pour montrer à mes élèves de troisièmes ces jolies courbes en les pilotant avec le point B. Très bon travail qui nous fait voyager dans le monde des mathématiques.

@oljenmaths

1y↑1

Au top 🥳! Je recommande aussi Desmos (le lien renvoie directement sur un exemple de courbe de Bézier cubique, avec possibilité de bouger chacun des points:
🤖 https://www.desmos.com/calculator/d1ofwre0fr?lang=fr

@kanomaths7796

@@oljenmaths merci pour ce lien.

@JeanSarfati

La notion de Maths Approchées est absolument passionnante, qui combinées à l'encadrement par le supérieur et l'inferieur donne une autre idée de la richesse mathématique. Une idée qui me travaille : si la vitesse de la lumière était définie en kiloEulerètre par seconde (basée sur la constante d'Euler seulement infiniment approchable) qu'est-ce que ça donnerait ? Idem si elle était valorisée à 1 seulement infiniment approchable ?).

@oljenmaths

Hélas, je n'ai pas les moyens de répondre à ces questions 🤷🏻‍♂️.

@smartcircles1988

1y↑1

Oljen, Que se passe-t-il lorsqu'on considère des courbes de Béziers avec une quantité astronomique de points, voir même, une infinité...?

@oljenmaths

1y↑1

Pas grand chose: nul phénomène de Runge à l'horizon avec cette approche. Mais on perd l'avantage que je cite en fin d'émission: allier une bonne qualité d'approximation et un faible coût en calcul. Les courbes de Bézier cubiques, c'est chouette, mais avec du degré dépassant le millier, c'est moins chouette 😅.

@romcha2856

1y↑3

Super vidéo 👌 Sur ce sujet je recommande aussi la vidéo de Freya Holmér qui partage des visualisations très belles et un point de vue élégant
https://youtu.be/aVwxzDHniEw
De +, par rapport à la remarque à 11:02, sa toute récente vidéo sur la continuité des spines (ou cerces) est magistrale de clarté et très intéressante. Elle introduit notamment la distinction entre continuité analytique et continuité géométrique, un concept qui m'a soufflé
https://youtu.be/jvPPXbo87ds
Merci de proposer du contenu d'une telle qualité en français, ça manque cruellement, et ça fait plaisir

@oljenmaths

Merci pour ces excellentes recommandations d'une chaîne que je ne connaissais pas du tout et que j'ai eu la joie de découvrir🙏🏻!

@surtvalheim

Est-ce que vous allez aborder la question de la distance d'un point quelconque du plan avec un courbe de Bezier cubique ?

@oljenmaths

Non, je termine actuellement un arc de vidéos assez important sur l'analyse, et je suis en bout de piste. J'ai beaucoup parlé d'approximation ces derniers temps et j'étais un peu obligé d'aborder les belles courbes de Bézier après avoir parlé des polynômes de Bernstein. J'en parlerai peut-être un jour, mais pas dans un futur proche en tout cas, j'aimerais bien refaire un peu d'algèbre 😇.

@surtvalheim

@oljenmaths

@@surtvalheim Joli mur de symboles 😅! Ça me rappelle ma thèse où, lorsque j'étais en « tilt », je me lançais dans ce genre de calculs pour me défouler, tout en sachant très bien, au fond de moi, que ça n'aboutirait à rien de constructif à part un mal de tête 🤣!

@nicchagall6075

1y↑1

Je n'ai rien compris à la vidéo, ça va beaucoup trop vite. Je n'ai pas compris l'arbre comment on l'obtient. Je n'ai pas compris d'où sortent les tracés des courbes ni comment on fait pour les obtenir. Entre 4min et 5min c'est du chinois pour moi.

@oljenmaths

Hélas, j'ai fait de mon mieux 🤷🏻‍♂️.

@nicchagall6075

@@oljenmaths je suis prof certifié pourtant. Je crois que c'est votre seule vidéo où je ne comprends rien.

@nicchagall6075

@@oljenmaths c'est peut être plus simple à comprendre en utilisant les barycentres.

@oljenmaths

@@nicchagall6075 Bah, le niveau d'études ne veut pas dire grand chose… Je connais des enfants de six/sept ans qui comprennent ce que sont des fractions, et d'autres de quinze qui n'ont pas vraiment saisi ce que c'était 🤷🏻‍♂.